科研方向
Bohm量子理论
Bohm发展起来的运动的量子理论是能够准确预测量子机制,并且能对有关
的物理现象给出直观解释的一种理论形式。作为量子机制的另一种形式,Bohm理论
将波函数的复指数形式引进到薛定谔方程中,并且采用了德布罗意的波导的概念。
Bohm理论在概念上展现了与传统的哥本哈根学派的解释有重要的区别,Bohm理论认
为量子轨迹连接了量子初态与末态的整个过程。Bohm理论引进的量子势为量子干涉
提供了另一种清楚的见解,而这种见解不需要放弃经典的轨迹概念。Bohm理论下的
粒子是由围绕粒子的波支配的,而这种波通过解薛定谔方程而得到,因此由所有粒
子的时空轨道又能重新对量子机制给出统计性的预测。
Bohm理论除了在理论解释上的重要性外,从计算机模拟的角度来看,人们
也越来越对Bohm理论感兴趣。例如,Bohm理论曾被用来研究方形势垒的散射、双缝
衍射、通过连续变化的自旋矢量,用独立的粒子轨迹解释了自旋叠加,自旋测量,
和Einstein-Podolsky-Rosen自旋相互作用、用Bohm理论研究了全同粒子问题、还
被用来研究了混沌的量子轨迹。可见,存在量子效应的领域就能用Bohm理论来进行
研究,由于量子效应是纳米微结构的一个重要特性,因此,我们很自然的想到利用
Bohm理论来对纳米结构中的量子输运现象进行研究,我们相信,借助Bohm理论得到
的直观结果,能对纳米微结构的研究作出指导性的工作。
1. 量子机制的原因解释
从量子机制开始出现,量子理论就给物理界引进了怎样解释的问题。并且,不确定
性也被假定为量子系统的本质特性,一些结果与其说是实验结果,不如说是一个老
的历史问题。对于传统的量子机制,只可能通过宏观观察得到统计的结果,不允许
思考连接时间和空间上的单独事件的因果关系的微观过程。从而,尽管经典系统可
以根据粒子数目的多少采取独立的或者统计的研究,而量子系统只允许统计解释,
即使是单粒子系统。
经典机制和量子机制最基本的区别可以通过双缝干涉实验看出。在经典情况下,相
对双缝出现了两个概率极大值,这可以用几率分布解释。而在量子情况下,几率以
波动函数的形式出现,可以看成是两束几率波的干涉。,即使在给定的时间间隔内
平均只有一个粒子到达接收屏,仍然可以看到干涉条纹,根据传统的量子机制,通
常解释为自干涉,即几率波自身干涉。在新的量子图像下,认为干涉图样由粒子组
成,粒子由双缝中的一个缝穿过,然而波函数却涉及两个缝。
1.1 波函数和运动方程
波函数包含了很多信息,而非只有几率特性,并且似乎可以在其中找到连
接独立事件的因果关系。让我们定义一个量子机制系统,它由粒子组成,粒子具有
精确定义的位置,位置是随时间连续变化的函数。波扩展到整个空间和时间,它支
配了粒子的运动。这样,Bohm理论的关键元素就是具有量子描述的粒子的概念。
为了得到这种粒子的运动方程,把量子波函数写成复指数的形式:
(1)
这里,实函数
和
分别是
的
振幅和相位。这两个函数的变化比通常的
的
实部和虚部的变化要慢得多。当把波函数带入含时薛定谔方程,将实部和虚部分
开,得到一对实方程,
(2)
(3)
给出的方程(3)的形式,就是Bohm理论中的哈密顿-雅可比型方程的形
式,这种形式可以超越经典机制而给出普遍的波和射线的理论。方程(2)和(3)
可以分别认为是几率密度守恒方程和量子哈密顿-雅可比方程。量子哈密顿-雅可
比方程与经典的哈密顿-雅可比方程相似,只不过多出来一项:
(4)
这个函数被称为量子势,它是由于内在的量子作用产生的,正如所见到的,它由波
函数的振幅的曲率决定。如果像经典哈密顿-雅可比理论一样,定义一个速度场
,那么
作为势能函数的角色将更清楚。
(5)
这个表达式表示每个粒子的轨迹都垂直于等值相位S面。将算符
作用到方程(3),并将(5)带入,利用拉格朗
日时间算子,
(6)
就可以得到牛顿第二定律
(7)
在方程(7)中,除了有经典势能V导致的的经典力
外,还有依赖于波函数的量子力
作用于粒子。
1.2 量子势
虽然Bohm理论好像是退回到了经典理论,其实不然,因为
导致的是非经典效应。例如,V常常比
提前几个时间数量级就消失了,一些效应,如导
致衍射的弗朗和费区域就发生在超越经典力作用区域的范围。而且,不同于经典势
能,
不是能由空间坐标预先指定的函数(最
终确定还依赖于时间),通常情况下是依赖于量子态的非常复杂的函数。由于这种
对量子态的依赖性,量子势将每点上的信息通过相互依赖或者说作为一个整体表现
出来,它也暗示了用来描述量子系统的必要参数具有敏感的依赖性。这种不可分离
或者说前后依赖关系长时间来被认为是Bohm理论的致命缺陷,但是正如Bell1证实
的,这正是量子机制的固有特征。
最后,要讲的是不可分离导致的在量子相关系统中观察到的非定域性。一个系统中
相距很远的两部分具有相同的量子态,比如纠缠态,由于量子势的存在而维持很强
的相互作用,量子势使两部分连了起来,正如上面讲过的,在远离经典相互作用区
域的地方,量子势相当重要。这是量子系统另外一个特性,在经典波的理论下是没
有观察到的。而且,经典的波的作用依赖于它的大小而非它的形式,在新的量子理
论形式下,有不同的特性。将波函数放大
倍,
为常数,可得:
(8)
可见,波函数的大小对量子势没有影响,影响它的是波函数的形式。
2. 计算方法
为了计算出量子轨迹,并对给定的物理过程作出可能的解释,方程(2)和(3)必
须同(5)结合起来解,基于不同的策略,而发展了许多不同的计算方法,它们可
以分成主要的两大类。第一类是直接解方程组(2)和(3),从而得出量子轨迹。
而我们采用的是下面介绍的第二种方法。
第二类方法是将问题分成两步,首先,在适当的时间演化范围内由含时薛定谔方程
直接求得波函数,然后,由于波函数
已经知
道,量子轨迹可以利用方程(5)求得。
波函数的求解可以采用离散化的方法,我们采用的是网格点法。可以将薛定谔方程
化为
(9)
其中j和n分别用来标注空间和时间作标。注意,这样得到的是一个递推关系方程
组,波函数的初始值取为高斯波包,这样就可以通过解这个递推关系方程组求解波
函数了。
1. Bell J S 1966 Rev. Mod. Phys. 38 447